有理数运算巧解五法

【慕联导读】

1. 巧结合。 利用 “加法交换法、结合律 ”对运算式子进行重组, 简化运算过程 。

例 1 计算 :( +6 ) +( + 1/4 ) +( -3.3 ) +( +3 ) + ( -6) +( +0.3) +( +8) +( +6) +( -16) +( -61/4 ) .

解:原式 =[ ( +6) +( + 1/4 ) +( -61/4 ) ] +[ ( -3.3) + ( +3) +( +0.3) ] +[ ( -6) +( +6) ] +[ ( -16) +( +8) ]

=0 +0 +0 +( -8) =-8.

本例为多个有理数相加题型, 审题不难发现式中特点:加数中有的互为相反数, 有的几个数相加为零 。

2. 巧转化。 利用 “小数与分数互化, 除法与乘法互化 ”简化运算 。

例 2 计算:( -21/7 ) ×( -1.2) ÷ ( -12/5 ) .

解:原式 =( - 15/7 ) ×( - 6/5 ) ÷( - 7/5 ) =- 15/7 × 6/5 × 5/7 =-1 此例为分数与小数乘除混合运算题型 。观察发现 “原式 变形后, 约分可简化运算过程 ”。

3. 巧分解。 根据加数 “变化规律 ”对特殊形式的加数进行分解处理, 使问题迎刃而解。

例 3 计算: 1/（1×2） + 1/（2×3） + 1/（3×4） +…… + 1/n( n+1) .

解:原式 =( 1 - 1/2 ) +( 1/2 - 1/3 ) +( 1/3 - 1/4 ) +…… + ( 1/n - 1/（n+1 ）) =1 -1/2 +1 2 -1/3 +1/3 -1/4 +…… +1/n - 1/n+1

本例关键在于将 1/n( n+1) 分解为 1/n - 1/n+1 , 如 1/（2×3） = 1/2 - 1/3 = 1/6 .

4. 巧逆用乘法分配律。 由分配律 :a( b+c) =ab+ac.反过来得:ab+ac=a ( b+c), 巧妙运用这个公式对运算式展开计算, 可使运算过 程简化。

例 4 计算:0.7 ×14/9 +23/4 ×( -15) +0.7 × 5/9 + 1/4 × ( -15) . 解:原式 =( 0.7 ×14/9 +0.7 × 5/9 ) +[ 23/4 ×( -15) + 1/4 ×( -15) ] =0.7 ×( 14/9 +5/9 ) +( 23/4 +1/4 ) ×( -15) =0.7 ×2 +3 ×( -15) =-43.6

 本例原题明显含有形如 “bc+ab”式结构, 且 a+b为整 数, 因此逆用分配律公式解题较为简便 。

5. 巧用乘法公式。 根据平方差公式, 完全平方公式简化运算过程。

例 5 计算:33.1² ÷33/4 - ( -2)²/15 ×16.9²

解:原式 =33.1²× 4/15 - 4/15 ×16.9²

=( 33.1² -16.9² ) × 4/15

=( 33.1 +16.9) ( 33.1 -16.9) × 4/15

=50 ×16.2 × 4/15

=216.

本例对原式进行变形后, 利用运算律提取公因数, 所得式 子含有因式 ( a 2 -b 2 ), 为利用平方差公式创造了条件 。