代数方法研究鸡兔同笼问题

【慕联导读】

“鸡兔同笼”是我国古代名题之一。《孙子算经》中记载了这样一个问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

《孙子算经》中是这样解答这个问题的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。

这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种“奇思妙想”不是一般小学生，甚至小学数学教师能想到的，要有相当的造化才行。

如果我们用点代数知识，依靠方程思想和方法去解决这个问题：

设鸡的只数为x,兔的只数为y,依题意有：

解法1：②÷2-①得：y=(94÷2-35)=12（只）

代入①得x=35-12=23(只)

通过代数方法，我们从解法1可看出《孙子算经》中的巧妙解法的奥妙所在。我们还可以采用如下与《孙子算经》中的“奇思妙想”等价的“人性化”说法：

思路一：设想鸡和兔子都受过训练，主人一声令下，所有的鸡都“ 金鸡独立”，而所有的兔子则都用两条后腿站立起来，……

解法2：②-①×2得：2y=(94-35×2)，从而y=(94-35×2)÷2=12（只）

代入①得x=35-12=23(只)

解法3：①×4-②得：2x=(35×4-94)，从而y=(35×4-94)÷2=23（只）

代入①得x=35-23=12(只)

解法2和解法3可诱导出对应的两种形象化的思考方法

思路二：设想兔子都是受过训练的聪明动物，主人一声令下，所有的兔子都用两条后腿站立起来，此时：（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了头的总数的2倍；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数少2。因此，兔子的只数等于94-35×2的一半，即(94-35×2)÷2－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。……

思路三：鸡的翅膀是由四足爬行动物的前肢进化而来，如果把鸡的翅膀也看成是“足”，则……

例1：小明买了3本英语作业本和5本写字本，共付3元；小王小明买了2本英语作业本和7本写字本；共付了3.1元。问每本英语作业本和每本写字本各多少元？

解：设每本英语作业本为x元，每本写字本为y元,依题意有：

②×3-①×2得：11y=(3.1×3-3×2)=3.3  从而y=0.3（元）

代入①得3x+5×0.3=3 解得：x=0.5(元)。

算术思路：我们创造条件，使其中一种数量相同，假设小明又帮同学买了1份相同的作业本，即共6本英语作业本和10本写字本，共付3×2=6元，小王也帮另外两同学买了与自己相同的作业本，即6本英语作业本和21本写字本；共付了3.1×3=9.3元。所以，11本写字本共花了9.3-6=3.3（元）从而可得到每本写字本0.3元。……

由此可见，对某些小学数学难以解决的问题，如果先用代数方法加以解决，便可从中受到启示而寻找一种技巧性的算术解法，从思想方法上，运用这样的“高”观点，将会使我们在小学算术问题解决上思路大为开阔，方法更加灵活有效，从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境。