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第二次数学危机

知识魔灯 慕联徐慧芳 浏览量(1062)

【慕联导读】

慕联导读(简介)

第二次数学危机,指发生在十七、十八世纪,围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论,这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统,同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题,并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中

正文

 

危机背景

这次危机的萌芽出现在大约公元前450年,芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾,提出了关于时空的有限与无限的四个悖论

两分法:向着一个目的地运动的物体,首先必须经过路程的中点,然而要经过这点,又必须先经过路程的1/4……,如此类推以至无穷。——结论是:无穷是不可穷尽的过程,运动是不可能的。

阿基里斯追不上乌龟:阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点,因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样,所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。

飞矢不动:意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上,因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态。

操场或游行队伍AB两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看,比如说AB都在1小时内移动了2公里,可是从A看来,则B1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的,所以运动是不可能的。

芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分,因而运动是连续的观点,后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分,因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景,不一定是专门针对数学的,但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到无穷小很小很小的矛盾,但他们无法解决这些矛盾。其后果是,希腊几何证明中从此就排除了无穷小。 

微积分的出现

经过许多人多年的努力,终于在17世纪晚期,形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者,他们的功绩主要在于:把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为当时解决问题的重要工具。

危机爆发

直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始,到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束,中间经历了半个多世纪,基本上解决了矛盾,为数学分析奠定了一个严格的基础。

波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分;狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上,威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方,给出现在通用的极限的定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

19世纪70年代初,威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

事件影响

这次危机不但没有阻碍微积分的迅猛发展和广泛应用,反而让微积分驰骋在各个科技领域,解决了大量的物理问题、天文问题、数学问题,大大推进了工业革命的发展。就微积分自身而言,经过本次危机的洗礼,其自身得到了不断的系统化,完整化,扩展出了不同的分支,成为了18世纪数学世界的霸主

同时,第二次数学危机也促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化以及几何非欧化的进程。


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