莫比乌斯带

【慕联导读】

慕联导读（简介）：

莫比乌斯带由德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁于1858年发现。就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。

普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面从两个减少到只有一个）。

正文

发现命名

公元1858年，两名德国数学家莫比乌斯和Johann Benedict Listing分别发现，一个扭转180度后再两头粘接起来的纸条，具有魔术般的性质。与普通纸带具有两个面(双侧曲面)不同，这样的纸带只有一个面(单侧曲面)，一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘！这一神奇的单面纸带被称为“莫比乌带”(Möbius strip) 。

作为一种典型的拓扑图形，莫比乌斯带引起了许多科学家的研究兴趣，并在生活和生产中有了一些应用。例如，动力机械的皮带就可以做成“莫比乌斯带”状，这样皮带就不会只磨损一面了。此外，莫比乌斯带也是艺术家眼中的经典造型  。

科学家认为，当具有可展表面(developable surface)的莫比乌斯带被折成之后，它要尽力达到具有最小弹性能量的状态。从20世纪30年代开始，一个关于莫比乌斯带的力学问题就始终困扰着科学家，即如何预测它的三维空间结构。在新的研究中，来自英国伦敦大学学院的非线性动力学家Gert van der Heijden和Eugene Starostin利用一组20年未发表的数学方程，解开了这一长达75年的难题。

制作方法

拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，然后把其中一端扭转180°，再把两端连上，就成为一个莫比乌斯带。

但如果我们把一个莫比乌斯环沿中线剪开，我们会得到什么呢？

剪开后，居然没有一分为二，而是变成了一个大环。那如果将莫比乌斯纸环沿着三等分线剪开，又会得到什么呢？

如果沿着莫比乌斯环3等分处剪开，会在剪完2个圈后又回到原点，形成一大一小相互套连的两个环，大环周长是原莫比乌斯环的两倍，小环周长与原莫比乌斯环相同。

如果我们进一步实验，将莫比乌斯环沿4等分线剪开，我们会发现下面的现象：居然剪出了两个互相链接的纸环，展开2个纸环并拉直，可以看出2个纸环是一样长的。

将莫比乌斯环沿5等分线剪开，则可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个纸环并拉直，可以看出其中2个环一样长，另一个环长度是其他两环的一半。将莫比乌斯环沿6等分线剪开，可以剪出3个互相链接的纸环，展开3个环可以看到，3个环一样长。

新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了，得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

相反，拿一张白的长纸条，把一面涂成黑色，把其中一端360度翻一个身，粘成一个双侧曲面。用剪刀沿纸带的中央把它剪开。纸带不仅没有一分为二，反而剪出两个环套环的双侧曲面。

莫比乌斯带还有更为奇异的特性。一些在平面上无法解决的问题，却不可思议地在莫比乌斯带上获得了解决。

比如在普通空间无法实现的"手套易位"问题：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套完全贴合于右手；也不能把右手的手套完全贴合于左手。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套。不过，倘若你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。

在自然界有许多物体也类似于手套那样，它们本身具备完全相像的对称部分，但一个是左手系的，另一个是右手系的，它们之间有着极大的不同。

拓展

制作过程中把纸带一端旋转180度可以，旋转540度、900度……都符合莫比乌斯带的定义。