拿破仑三角形

【慕联导读】

拿破仑定理（Napoleon's theorem）指的是若在任意三角形的各边向外（内）作正三角形，则它们的中心构成一个正三角形。

这一定理可以等价描述为：若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形，则它们的中心构成一个等边三角形。

拿破仑三角形

对于法国人来说，拿破仑·波拉巴这个妇孺皆知的名字是他们的骄傲。拿破仑出身于科西嘉岛。1793年，24岁的拿破仑在土仑战役中崭露头角，打了一个大胜仗。

“谁在土仑打胜仗啦？”法国人都在问。

“炮兵上尉拿破仑·波拉巴。”知道情况的法国人骄傲地回答。

“我们从来没听过这个名字。拿破仑长得什么样子呀？长得一定挺帅的吧。”太太小姐们问。

“不，拿破仑是个矮子。”

一夜之间，拿破仑就成了家喻户晓的英雄。拿破仑是个天才的军事家，在接下去的几次战役中，拿破仑所向披靡，风头出尽。当他指挥着法国部队翻过阿尔卑斯山时，他已赫赫有名，并登上法兰西第一帝国皇帝的宝座。他几次打垮了欧洲的封建君主们的反法联盟，并把大半个欧洲置于他的帝辇之下。1812年，法国军队踏进了莫斯科。然而铺天盖地的暴风雪，把踌躇满志的拿破仑的美梦压碎了。面对坚壁清野的俄国人，法国兵陷入了饥寒交迫的绝境。而当法国兵退出空城莫斯科时又遭到俄国名将库图佐夫的毁灭性打击。不久，失败的拿破仑被流放到厄尔巴岛。据说他此时写了一段回文：“ABLE WAS I ERE I SAW ELBA。”（可译为：在我看见厄尔巴之前，我可是非常能干的。——我想，这或许是好事者为之，并非出自拿破仑的手笔。）不久，他又复辟，但又在滑铁卢打败了（这次又是电闪雷鸣、暴雨如泣的恶劣天气帮了他的对手的忙。）拿破仑又被流放到圣·赫勒钭岛，1821年死于慢性砷中毒。

由于拿破仑是炮兵军官出身，所以他的几何与三角都学得相当好，在绚丽的数学大花园中，就开着一朵以他的名字命名的小花。

以任何三角形ABC的三边为边向三角形外侧（或内侧）作正三角形ABC′、BCA′、CAB′，这三个正三角形的中心分别为P、Q、R，则△PQR是正三角形。当所作三个正三角形在△ABC外侧时， △PQR称外拿破仑三角形；而当它们位于△ABC内侧时，则称内拿破仑三角形。

这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X。（请看前一篇《费尔马点》）

连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。

类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形（图2）。

拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，在图1中，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得。

拿破仑三角形还可作如下推广：

以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为 P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。

外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。

这题的证法与前面类似。

利用高中三角知识还可证明：

三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。

来源：互联网     编辑：田琴