交换律

【慕联导读】

交换律(Commutative property)是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才被声明。

交换律

日常生活中许多事情是可以交换顺序的。早晨起床，可以先洗脸，后漱口；也可以先漱口，后洗脸。但也有许多事是不能随便交换顺序的：

洗完澡，先穿汗衫、衬衫，然后再穿外套。如果先穿外套，汗衫、衬衫就无法穿了。

上体育课，老师喊口令：

“向前五步走！向后转！”

若改成：

“向后转！向前五步走！”

前后顺序一倒，结果位置相差十步。

硫酸是一种强酸，如果把它稀释，只能把硫酸慢慢地倒入水中，而决不能把水向硫酸里倒。不然硫酸就会飞溅，发生事故。

上面说的是日常生活中许多事情的次序不能颠倒。有些事情次序虽可以交换，但交换后的意思就大不相同，比如说：

“王晨吃东西的时候还看书。”讲话的人不一定提倡王晨同学这种做法，但认为他学习很刻苦，带有表扬的意思，对他的精神是肯定的。若是交换一下，说：

“王晨看书的时候还吃东西。”

这就带贬意了，使人感到王晨嘴太馋，看书不专心。

上面这些例子说明，在日常生活中，交换律并不都是成立的。不仅交换律如此，结合律也是这样：淘米煮饭，得在米里放适当的水，米和水结合才能煮成香喷喷的大米饭，我们还可以在饭碗里打两三个鸡蛋拌水，调匀，加上盐、油、葱花，放在锅头上蒸熟，这就是把鸡蛋、水、盐、猪油、葱花合在一起，做成美味可口的蒸蛋。上面这样结合是可以的，但你不能乱来。比如，把米、鸡蛋、味精放在一起煮，就不好吃了。

在实数运算中，加法和乘法有交换律和结合律，但减法和除法就不具有交换律和结合律。也就是说，一般说来，

a－b≠b－a，a÷b≠b÷a，

a－b＋c≠a－（b＋c），a÷b×c≠a÷（b×c）．

这一点在运算时要注意。

在平面几何中，许多变换也是不能交换的。

例如，如图，已知直线ι和A点，分别作如下两种变换：

把A点沿AB1方向移动2cm至B1点，再取B1点关于直线ι的对称点A1；

取A点关于直线ι的对称点B2，然后把B2沿AB1方向移动2cm至A2。

显然A1和A2不是同一个点。

总之，数学中的运算和变换和生活中的许多事理是一致的，有些具有交换律、结合律，有些不具有，要具体情况具体分析。

日常生活中许多事情是可以交换顺序的。早晨起床，可以先洗脸，后漱口；也可以先漱口，后洗脸。但也有许多事是不能随便交换顺序的：

洗完澡，先穿汗衫、衬衫，然后再穿外套。如果先穿外套，汗衫、衬衫就无法穿了。

上体育课，老师喊口令：

“向前五步走！向后转！”

若改成：

“向后转！向前五步走！”

前后顺序一倒，结果位置相差十步。

硫酸是一种强酸，如果把它稀释，只能把硫酸慢慢地倒入水中，而决不能把水向硫酸里倒。不然硫酸就会飞溅，发生事故。

上面说的是日常生活中许多事情的次序不能颠倒。有些事情次序虽可以交换，但交换后的意思就大不相同，比如说：

“王晨吃东西的时候还看书。”讲话的人不一定提倡王晨同学这种做法，但认为他学习很刻苦，带有表扬的意思，对他的精神是肯定的。若是交换一下，说：

“王晨看书的时候还吃东西。”

这就带贬意了，使人感到王晨嘴太馋，看书不专心。

上面这些例子说明，在日常生活中，交换律并不都是成立的。不仅交换律如此，结合律也是这样：淘米煮饭，得在米里放适当的水，米和水结合才能煮成香喷喷的大米饭，我们还可以在饭碗里打两三个鸡蛋拌水，调匀，加上盐、油、葱花，放在锅头上蒸熟，这就是把鸡蛋、水、盐、猪油、葱花合在一起，做成美味可口的蒸蛋。上面这样结合是可以的，但你不能乱来。比如，把米、鸡蛋、味精放在一起煮，就不好吃了。

在实数运算中，加法和乘法有交换律和结合律，但减法和除法就不具有交换律和结合律。也就是说，一般说来，

a－b≠b－a，a÷b≠b÷a，

a－b＋c≠a－（b＋c），a÷b×c≠a÷（b×c）．

这一点在运算时要注意。

在平面几何中，许多变换也是不能交换的。

例如，如图，已知直线ι和A点，分别作如下两种变换：

把A点沿AB1方向移动2cm至B1点，再取B1点关于直线ι的对称点A1；

取A点关于直线ι的对称点B2，然后把B2沿AB1方向移动2cm至A2。

显然A1和A2不是同一个点。

总之，数学中的运算和变换和生活中的许多事理是一致的，有些具有交换律、结合律，有些不具有，要具体情况具体分析。

来源：互联网     编辑：田琴