欧拉公式--世界上最美的公式

【慕联导读】

欧拉公式——e^iπ+1=0，世界上最美丽的公式！

e^iπ+1=0，这个恒等式也叫做欧拉公式，最早是由瑞士的数学家莱昂哈德.欧拉在1740年发现。高斯曾说：“如果一个人第一次看到这个公式而不是感受它的魅力，那么它不可能成为数学家”。它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起，两个超数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0.数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。虽然不敢肯定她是世界上“最伟大的公式”，但是可以肯定她是最完美的数学公式之一。为什么这样评价它呢？理由如下：

1. 自然界的e含于其中。

自然对数的底，大到飞船的速度，小至蜗牛的螺线，谁能够离开它？ 双曲函数、素数定理、完全率、阻力落体、粒子运动等等都离不开“e"。

2. 最重要的常数π含于其中。

世界上最完美的平面对称图形是圆。“最伟大的公式”能够离开圆周率吗？

（还有π和e这两个最重要的无理数！）

3. 最重要的运算符号+含于其中。

之所以说加号是最重要的符号，是因为其余符号都是由加号派生而来。减号是加法的逆运算，乘法是累计的加法......

4. 最重要的关系符号=含于其中。

从你一开始学算术，最先遇到它，相信你也会同意这句话。

5. 最重要的两个元在里面。

零元0，单位元1，是构造群，环，域的基本元素。如果你看了有关《近世代数》的书，你就会体会到它的重要性。

6. 最重要的虚单位i也在其中。

    虚单位i使数轴上的问题拓展到了平面，而在哈密尔的4元数与凯莱的8元数中也离不开它。

之所以说她美，是因为这个公式的精简。她没有多余的字符，却联系着几乎所有的数学知识。

有了加号，可以得到其余运算符号；

有了0,1，就可以得到其他的数字；

有了π就有了圆函数，也就是三角形函数；

有了i就有了虚数，平面向量与其对应，也就有了哈密尔的4元数，现实的空间与其对应；

有了e就有了微积分，就有了和工业革命时期相适宜的数学。

7. 三角形中的欧拉公式：

设R为三角形的外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则d²=R²-2Rr;

8. 拓扑学里的欧拉公式

V+f-e=x(p)，v是多面体p的顶点个数，f是多面体p的面数，e是多面体p的棱的条数，x(p)是多面体p的欧拉示性数。

如果p可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷的一个球面上），如果x(p)=2，如果p同胚于一个接有h个环柄的球面，那么x(p)=2-2h。

X(p)叫做p的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。

在多面体中的运用：简单定义多面体的定点数v、面数f及棱数e间有关系v+f-e=2，这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。

9. 初等数论里的欧拉公式

欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数，n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p₁^a1×p₂^a2×......p_m^am，其中p_j(j=1,2,......,m)都是素数，而且两两不等。则有

φ(n)=n(1-1/p₁)(1-1/p₂)......(1-1/p_m)利用容斥原理可以证明它。此外还有很多著名定理都可以用欧拉的名字命名。

这个公式影响了整个数学的发展，三角函数、傅里叶级数、泰勒级数、概率论、群论、几何都受到这个公式的影响，就连物理也收到了这个公式的影响，机械波论、电磁学、波动光学以及引发了电子学革命的量子力学的理论基础也蕴含其中。这也是这个公式美丽的原因，它为数学的发展奠定了基础。

来源：互联网     编辑：韩孟丽